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O matemático polonês Sierpinski (1882-1969) estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, que se obtém a partir de um processo iterativo. Para construir um Triângulo de Sierpinski, pelo processo de remoção de triângulos, devem ser seguidas as instruções:
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item Constrói-se um triângulo equilátero.
\item Em seguida, determinam-se os pontos médios de cada um dos lados do triângulo.
\item Esses pontos médios são ligados para obter quatro triângulos equiláteros menores.
\item A figura a seguir é o resultado da ação descrita em 2 e 3.
\end{enumerate}
\begin{center}
\end{center}
(Observe que desses quatro triângulos apenas o triângulo central está invertido, em relação ao original; os outros três mantém a mesma orientação do original).
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\setcounter{enumii}{4}
\item Para a segunda iteração, o triângulo central deve ser retirado e repete-se os mesmos procedimentos descritos em 2 e 3 para cada um dos três triângulos restantes.
\item Depois, para a terceira iteração, retiram-se os triângulos centrais, e repete-se o processo para os triângulos restantes.
\item A figura a seguir mostra o resultado dessa iteração.
\end{enumerate}
\begin{center}
\end{center}
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\setcounter{enumii}{7}
\item Para as demais iterações, esses procedimentos devem ser repetidos sucessivamente.
\end{enumerate}
Considere uma sequência de figuras em que a primeira é o triângulo equilátero inicial, a segunda a resultante da primeira iteração, a terceira a resultante da segunda iteração, a quarta o resultado da terceira e assim por diante.
Assim, a fórmula do termo geral a_n que permite calcular a quantidade de triângulos obtidos na n-ésima figura, descontando-se os triângulos retirados, é:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label={\Alph*})]
\item a_n = 4^{n - 1}
\item a_n = 2.3^n - 1
\item a_n = 13n + 1
\item a_n = 3^{n - 1}
\item a_n = 3^n - 6
\end{enumerate}
\end{multicols}
stripBackgroudGeral.png

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